在江苏省专转本高等数学考试中第20题中，会出现二重积分的计算题，在翻阅历年真题时，老刘发现2016年的题目有的意思。先来回顾考纲所涉及二重积分部分“熟练掌握利用直角坐标系与极坐标计算二重积分的方法，会交换二次积分的积分次序，对利用对称性化简二重积分的计算”
其中对利用对称性化简二重积分的计算显然就是要考二重积分的奇零偶倍了，目前2022和2023年真题中未出现。
下面我们来看2016年这题：
法一：常规做法，直角坐标系，作图后发现宜用Y型
法二：
同学们作图后发现积分区域和圆有关，自然而然想用极坐标，但是有个问题，同学们遇到的极坐标的极点都是和原点合一利用极坐标计算二重积分，即极坐标系和直角坐标系合一的，极坐标没有上下之分，只有内外之别，这个图中，外环不统一，第一象限中是半径为2的标准圆，第二象限中则是斜线，故无法统一使用极坐标。那么钟情于极坐标的同学只能对积分区域进行划分
法三：
那有小伙伴问能不能只用极坐标系，且不分割积分区域呢？
根据极坐标的特性，极角西塔逆时针由x正半轴旋转pi/4这么完美不用岂不浪费？
这里需要改变一下极点，将（-2，0）这个点作为极点
这里计算量较大，有兴趣的同学可以仔细算一下，锻炼下计算能力，转本其实就是考的计算能力
法四：
其实，这题又可以用奇零偶倍，我们添加另外一条斜线y=-x+2
而被积函数x自然是x的奇函数阿，那关于y轴对称的部分利用极坐标计算二重积分，激活了奇零，那么我们只需计算
其中后面那个定积分计算较复杂
怎么样，大家是不是觉得法四太坑了阿，不过对于即将考试2024届的小伙伴而言，计算能力得到了锻炼阿，思路也得到了开阔
最后，老刘给自己做个小广告
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有兴趣可移步
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